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データのカーブフィッティングについて
(x,y)の組み合わせのデータが数多くあり、y=a+bx+cx^2..という曲線をフィットさせることを考えます。係数a, b, cを求めるということです。エクセルとか科学ソフトに入っているものと思います。 この係数の決め方は、実際にはどのような方針なのしょうか。例えば、最小二乗法のように誤差を調べて、その誤差の式をa, b, cで偏微分して０として３つの式を立て、それを解いてa, b, cを求めるというようなことでしょうか。それはダメなんじゃないかと思うのですが。 y(x,z)=a+bx+czで、x, zが独立ならそれがやれるのであり、この場合、z=x^2なのでzのxに対する独立性に問題があるからなのですが。どうでしょうか。 カーブフィッティングについてわかりやすく解説 試しにy=1.5x^2 でｘに乱数を与えて計算して(x, y)の組み合わせを数多く作成し、模擬データとしてy=a+bx+cx^2のa, b, カーブフィッティングについてわかりやすく解説 cを推定してa=b=0, c=1.5がしっかり算出されるものでしょうか。y=1.5x^2 で乱数で発生したデータであっても低次のy=a + bxという式で最小二乗法を使えばa, b（いずれも非０）の結果が出ますね。そこでもう１つ高次の項 cx^2を付けて推定したら先のa, bが変更を受けてa, bが０でc=1.5となる結果が出てくるものでしょうか。 よろしくお願いします。
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- 2017/04/21 13:52 回答No.2
最小二乗法の計算は、あなたの思っている通りです。Excelの近似曲線は、そういう方法で計算されてます。 ところで「y=1.5x^2でｘに乱数を与えて・・・」をExcelでやってみました（0≦x≦1，200点）。 1次近似：y = 1.5485x - 0.2729，R^2 = 0.9410 2次近似：y = 1.5000x^2 - 7.1054×10-15x + 3.8921×10-15，R^2 = 1.0000 3次近似：y = 1.5916×10^(-12)x^3 + 1.5000x^2 + 1.3470×10^(-12)x - 2.7320×10^(-13)，R^2 = 1.0000 4次近似：y = -2.3647×10^(-11)x^4 + 4.4281×10^(-11)x^3 + 1.5000x^2 - 3.8606×10^(-12)x + 5.6882×10^(-12)，R^2 = 1.0000 1次の場合はa，b≠0ですが、2次以上では2次の係数だけがc＝1.5000で、他は倍精度実数の精度内で0と考えられる数値です。さらに相関係数R^2値が、1次では0.9410ですが、2次以上では1.0000になります。いちおうグラフを見なくても、2次で十分（というか2次関数だったのか）と判断すると思います。 ＞フーリエ級数はそのようになっていませんね（最終性があるので）。 最終性の意味は良く知りませんが、異なる周波数のsin，cosの積の積分を実際に数値計算すれば、10^(-10)程度の誤差は必ず出て0にはなりませんよ。0にして良いという保証があるので、最初から計算しないだけです。さらにどの周波数まで取れば良いのか？、という問題もあります。原則は、十分小さいフーリエ振幅になったら打ち切ってOKですから、普通はそれをグラフを見て判断するでしょう。そこは多項式近似と同じじゃないですか？。総じて言えば、数値誤差があるので、数値計算結果から何かを証明する事は出来ません。出来るのは、証明があって、その確認を取る事だけです。 ＞・・・多重共線性を嫌う・・・ 「ある現象を説明する変数に独立性がなくても・・・」は正しいと思います。でも発想が逆だと思うんですよ。説明変数に独立性がないから、多重回帰ではなく、単回帰に持ち込むべきだじゃないですか？。だからy=a+bx+cx^2による、最小二乗法を行うと。そう出来るのは、関数としてxとz＝x^2が線形独立だからだと思います。 カーブフィッティングについてわかりやすく解説 ちなみにy＝1.5x^2を厳密に満たすデータに最小二乗法を適用すれば、y＝1.5x^2が再現される事は、証明できるはずです。
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